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円周上でランダムにとった3点でつくられる三角形が鋭角三角形になる確率は、1/4ということであった。 以前の結果を使って結論を出したが、この「円周上のランダムな3点による三角形が鋭角三角形になる確率」の求め方について、改めて整理しておこう。 中心が原点にある単位円に、3点A,B,C...

円周上に点をとる作業を進めてきたが、これに関連した問題。 円周上にランダムに3点をとり、これらを頂点とする三角形をつくるとき、これが鋭角三角形、直角三角形、鈍角三角形となる条件について調べてみた。 原点を中心とする半径1の単位円において、座標(1,0)に点Aを固定し、上半円の適当...

これまでの「ランダムに引いた弦の長さ」の考察から「ベルトランのパラドックス」の確率を検証したい。 初めに、ベルトランのパラドックスについておさらいしておく。 半径が1の円にランダムに引いた弦の長さが√3以上になる確率について、 （1）円周上にランダムに2点をとって弦をつくったとき...

方法5による、半径が1の円の内部にランダムにとった点Aをもとに引いた弦の長さは、平均 4/3 になるということであった。 前回とは違った方法で再検証してみたい。 円の内部にランダムに点を打つということなので、打たれた点の位置は2次元で考えることになる。 方法4の考え方では、中心か...

2次元上の点をもとに定義する弦BCの長さについて、この起こりやすさをどのように組み込めば、その平均を求めることができるか、を考える。 θ＝0として、原点からの距離がrである点Aに対する弦BCの長さは、f(r)＝2√(1－r^2) （0≦ｒ≦1） で表せる。 点Aの選ばれやすさを、...

「円の中にランダムに引いた弦の長さ」について、また違った方法を考える。 （3）円の内部に適当な点をとり、その点が中点となるような弦の長さはどれくらいになるか。 ⑤ 方法5 下図のように、中心が原点にある単位円の内部に適当な点Aをとり、OAに垂直な直線を引くとき、点Aを中点とする弦...

引き続き、③と④の「確率測度の違い」について考える。 ③の場合、CD＝2sinθと表すことができて、θが 0→π/2 で変化するときのCDの長さの平均を求めた。 いま、第1象限と第2象限におけるBCの長さの平均を求めるとしたとき、 f(θ)＝sinθで表される曲線とθ軸に挟まれた...