ランダムに引いた弦の長さ（7）

2次元上の点をもとに定義する弦BCの長さについて、この起こりやすさをどのように組み込めば、その平均を求めることができるか、を考える。

θ＝0として、原点からの距離がrである点Aに対する弦BCの長さは、f(r)＝2√(1－r^2) （0≦ｒ≦1） で表せる。

点Aの選ばれやすさを、仮に点Aが属する円周の長さで表すことにして、g(r)＝2πr　とする。

ｙ軸に f(r) の値をとり、z軸に g(r) の値をとって、これらの積による長方形の面積を、r方向（x軸）に積分すれば、立体の体積が求められる。これを底面積で割れば、高さ（f(r)、すなわち弦BCの長さ）の平均値が求められると考えた。

いま、次のように4分の1円の中で、点Aの位置を表すｒを、点Sからスタートさせて、半径SO上を動かし、SA＝ｒとして、そのときの線分AB（弦BCの半分）の長さの変化を考える。

ｙ＝f(r)のグラフ（0≦ｒ≦1）は、次のようになる。

すなわち、r=0のとき、AB＝0、r=1のとき、AB＝1であり、f(r)＝√(2r-r^2)　と表せる。

また、ｚ＝g(r)のグラフ（0≦ｒ≦1）は、次のようになる。

すなわち、r=0のとき、弧AT＝π/2、r=1のとき、弧AT＝0であり、g(r)＝(π/2)(1-r)　と表せる。

立体を表現するのは難しいが、これらの積を r 方向に積分すると、

Integral｛√(2r-r^2)・(π/2)(1-r)｝dr （0→1）＝［(π/6)(2r-r^2)^(3/2)］（0→1）＝π/6

この立体の高さの平均を求めるために、底面積 π/4 で割ると、(π/6)÷(π/4)＝2/3　となる。

弦の長さはABの2倍なので、2/3×2＝4/3 （≒1.33） が、方法⑤による弦の平均値ということになる。