傾いた立方体の展開図（4）

「傾いた立方体」について、次のような立体も考えられる。
4つの側面はこれまでと同じ菱形とし、2つの底面（上･下）が正方形であるような立体（③）である。

x軸、y軸、z軸が直交する座標空間で、3つの軸に接するもとの立方体をイメージすると、①と②の立体は、y軸とz軸を傾けてできた「傾いた立方体」であるのに対して、③の立体はz軸のみを傾けてできる「傾いた立方体」と解釈することができる。
①②と比べて③は、崩れ度合いが小さいと見ることもできるが、面の形が2種類現れるという点では対称性に欠けるといえる。

この立体の展開図の種類は、①②に比べて多くなるか少なくなるか。予想するのは難しい。
今回も立方体の展開図（下図の11種類）をもとにして、「2つの正方形の面が向かい合う」ものを列挙することで、漏れやだぶりを回避し、裏返しや回転で同じになるものを取り除いていくこととする。

たとえば、（a）型の場合、正方形を置けるのは水色の箇所の3通りになり、黄色の菱形の向きは一通りにきまる。（黄色の菱形同士は、鋭角と鈍角がセットになるように配置される。）

たとえば、（c）型の場合、下記の3通りの内、中央と右側は同じものになるので2通りとみなせるが、

裏返したときに同じになると考えそうな次のような場合について、「傾いた立方体」で考えると、菱形の向きが変わることで別種類と数えなくてはならない。

このような点に注意しながら、すべての展開図をつくっていこう。

傾いた立方体の展開図（3）

「菱面体」の展開図について、次に、「2つの頂点に菱形の3鈍角が集まる場合」（②の立体）を考える。

立方体の11種類の展開図における「注目する3面」については、前回（①の立体）と同様であるが、1点に集まる菱形の角については、「3つの鈍角」か「2つの鋭角と1つの鈍角」になる。すなわち、下図の青点に集まる3面の配置は、次のような4つのパターンに置き換えて考えることになる。なお、「注目する3面」以外の面のつなぎ方は必然的に決定される。

（a）型

（b）型

（c）型

（d）型

（e）型

（f）型

（g）型

（h）型

（i）型

（J）型

（k）型

2頂点に3鈍角が集まる菱面体（②の立体）の展開図の種類は、①の立体のものと同数であることがわかった。
繰り返しになるが、立方体の展開図が線対称である(a)(b)型については、裏返しをすることで同じになるものが2個ずつあり、点対称である(c)(d)(e)(f)型については、回転することで同じになるものが1個ずつ現れる。
したがって、11×4ー2×2－1×4＝36より、この立体（②）の展開図は全部で36種類ということになる。

傾いた立方体の展開図（2）

「菱面体」の展開図について、まずは、「2つの頂点に菱形の3鋭角が集まる場合」（①の立体）を考える。

（a）型

（b）型

（c）型

（d）型

（e）型

（f）型

（g）型

（h）型

（i）型

（J）型

（k）型

以上の11×4＝44通りを観察すると、もとの立方体の展開図が線対称である(a)(b)型については、裏返しをすることで同じになるものが2個ずつ現れ、点対称である(c)(d)(e)(f)型については、回転することで同じになるものが1個ずつ現れる。
したがって、11×4ー2×2－1×4＝36より、この立体（①）の展開図は全部で36種類ということになる。

傾いた立方体の展開図（1）

6面が同じ形の菱形である「傾いた立方体」を考える。
向かい合う3組の面がそれぞれ平行（平行六面体）であり、かつ、一種類の菱形の面で構成される立体は「菱面体」と呼ばれている。工作用紙を切り貼りしてみると、次のような2個の異なる立体ができた。

各面の菱形は、短長の対角線の比が「1：√2」になるようにつくった。このとき、菱形の頂点の角はおよそ、70.5°と109.5°になる。（正四面体の二面角70.5°と正八面体の二面角109.5°がこんなところにも出てくる！）

①の立体は、約70°の角（鋭角）が3つ集まる頂点が2つあり、残りの6つの頂点には「1鋭角＋2鈍角」が集まる。
②の立体は、約110°の角（鈍角）が3つ集まる頂点が2つあり、残りの6つの頂点には「2鋭角＋1鈍角」が集まる。
このような菱形を組み合わせてつくる六面体は、この①と②の2種類の立体に限られる。
鈍角が120°以上の菱形でこのような立体をつくる場合は、一種類の立体しかつくれない。なぜなら、②のような3鈍角が集まる点は平面になるか重なってしまうから。

この菱面体の展開図をつくるには、①と②の立体で分けて考える必要がありそうだ。
また、立方体の展開図（11種類）に沿って考えることが漏れやだぶりを避けることになるだろう。
しかし、たとえば次のような「T字」の展開図について、正方形を単純に菱形に置き換えても上手くいかない。これでは、3鋭角（または3鈍角）の集まる頂点が存在しないのだ。

この展開図において、3面（青面）が集まる頂点（赤点）に注目するとき、①の立体を作るためには、3面の角が「3つの鋭角」か「1つの鋭角と2つの鈍角」になる必要がある。なお、このとき、同じくこの条件（「3つの鋭角」か「1つの鋭角と2つの鈍角」）から、残りの黄色の面のつなぎ方は必然的に決まる。

赤点に集まる3面の配置については、次の4つの場合が考えられるので、立方体の11種類の展開図に沿って、この4通りをあてはめて列挙していけばよいだろう。

なお、11種類の立方体の展開図において「注目する3面」については、次の通りとした。

サイコロキャラメルを切る（3）

できあがった切断サイコロパーツは次の通り。

①二等辺三角形　②正三角形　③正方形

④正方形　⑤長方形　⑥平行四辺形

⑦菱形　⑧台形　⑨等脚台形

⑩五角形　⑪六角形　⑫正六角形

マグネットシート同士は位置や向きで微妙にずれるので、同じ形を2枚切って合わせてもうまくいかない。2枚がきちんとそろう状態に整形し、それぞれのパーツに両面テープとセロテープで固定する。
できあがった12個のさいころは100均の小物ケースにぴったり収まった。

サイコロキャラメルを切る（2）

空箱（立方体）の展開図に引いた「切り取り線」は次の通り。

①二等辺三角形　②正三角形　③正方形

④正方形　⑤長方形　⑥平行四辺形

⑦菱形　⑧台形　⑨等脚台形

⑩五角形　⑪六角形　⑫正六角形

これらを切ってつないで組み立てると、同じ切断面をもつ2つの立体（立方体を分けたもの）ができる。

「切断面」はオープンなので、これをふさぐ平面がほしくなる。また、立体が空洞だとすぐつぶれそうなので、同じサイズの発泡スチロールをそれぞれの立体の形に合わせて埋め込む。切断面同士がくっつくと整理しやすいので、切断面はマグネットシートでつくることにしよう。

サイコロキャラメルを切る（1）

立方体の切断（切り口）について学ぶのに、以前、明治サイコロキャラメルの箱を使ったことがあった。

改めて作り直そうと探したら「明治」さんのものはすでに販売が終了していた。今は「donan」さんがこれを引き継いでいる。「donan」さんが販売するサイコロキャラメルは、「北海道サイコロキャラメル（赤･白）」「富良野メロンサイコロキャラメル（橙･白）」「北海道179市町村サイコロキャラメル（青･白）」「JR北海道駅名標キャラメル（緑･灰･白）」「サイコロキャラメルぶどう味（紫･緑）」「サイコロキャラメルあずきミルク味（紫･白）」の6種類。先日、北海道に行ったときに一通り買ってきた。

さて、本題へ。まずは、立方体を切るとき、どのような切断面がつくれるか（つくろうか）を考える。

いろいろ考えられるが、これら12種類に限定することにする。

この切断イメージ図を参考に、サイコロキャラメルの空箱をひろげて、その展開図の上に切るべき線を描いていこう。