リーグ戦の勝敗とゲーム差（1）

いよいよ明日からプロ野球の日本シリーズが始まる。
2022年のセ・パ両リーグの最終勝率とゲーム差は次の通りであった。

実は、今シーズンが始まってまもなくの3月30日、セリーグの勝敗に興味深い結果が見られた。

ゲーム差が「1.0、2.0、3.0、4.0、5.0」と、規則正しく並ぶという現象が見られたのだ。珍しそうなので、この新聞記事を切り取っておいたのだが、果たしてこの現象はどれくらい珍しいのだろうか、というのが今回のテーマ。

ここでは、次のような条件の下で勝敗パターンを調べることとする。
・参加チームが1戦ずつの総当たり戦（リーグ戦）を行ったら終了。
・一試合ごとに勝敗が決まる（引き分けはない）。
・どのチームも同じ程度に強い（勝ち負けは、50/50）。

いきなり6チームの場合を考えるのは難しいので、少ないチーム数から調べてみよう。

［１］2チームの場合
AチームとBチームが、1試合を行った場合、
① Aが1勝、Bが1敗
② Aが1敗、Bが1勝
の２通りのいずれかであり、どちらも同程度に起こりうる。このとき、ゲーム差は必ず「1.0」になる。

［２］3チームの場合
Aチーム、Bチーム、Cチームが、異なる相手と合計3試合を行った場合、
① Aが2勝、Bが1勝、ｃが0勝
② Aが2勝、Bが0勝、ｃが1勝
③ Aが1勝、Bが2勝、ｃが0勝
④ Aが1勝、Bが0勝、ｃが2勝
⑤ Aが0勝、Bが2勝、ｃが1勝
⑥ Aが0勝、Bが1勝、ｃが2勝
⑦ Aが1勝、Bが1勝、ｃが1勝
のいずれかになるが、「⑦ Aが1勝、Bが1勝、ｃが1勝」には、2通りが考えられる。
上の状況を表にして書き直すと、

このように、８通りが見つけられる。
3チームの勝敗パターンが8通りになることについて、次のように説明することができる。

右上の黄色いマスの○×によって、左下のマスの○×は自動的に決まる。つまり、場合の数は、黄色の３つのマスに○まはた×を入れる方法が何通りあるかを数えればよい。
つまり、この場合、2^3＝8（通り）になるということだ。

次のようにも説明できる。
3チームで総当たり戦を行った場合の結果は、
(1) 2勝・1勝・0勝
(2) 1勝・1勝・1勝　の2通りある（2通りしかない）。
(1)については、A,B,Cの入れ替えが、3C1×2C1＝3×2＝6通り
(2)については、A＞B＞C（⑦）、A＜B＜C（⑧）のような関係で、2通り あることから、
これらを合わせて、8通りになる。

さて、このとき、勝率とゲーム差は次のようになる。
(1) の場合（①～⑥の場合）、勝率は「1.0、0.5、0.0」、ゲーム差は「―、1.0、2.0」、
(2) の場合（⑦～⑧の場合）、勝率は「0.5、0.5、0.5」、ゲーム差は「―、0.0、0.0」　となる。
したがって、3試合を終えて、ゲーム差が「―、1.0、2.0」（自然数列）になるのは、6/8（0.75）の確率といえる。