2022年10月27日木曜日

リーグ戦の勝敗とゲーム差(6)

(10) 4・4・4・2・1・0について

全敗のFチームが現れて、5チームに1勝ずつ与えたとすると、A~Eの5チームの勝ち数「4・4・4・2・1」は、太枠内での「3・3・3・1・0」に相当する。
5チームの際の「3・3・3・1・0」は40通りあったので、全敗の可能性が6チームともにあることから6倍することで、40×6=240(通り)。

(11) 4・4・4・1・1・1について
3チームが4勝1敗、3チームが1勝4敗になるということは、上位3チームはいずれも下位3チームのすべてに勝利していなければならない。


つまり、上位3チームが互いに「1勝1敗」の関係、下位3チームが互いに「1勝1敗」の関係になる場合しかあり得ない。
太枠はそれぞれ2通りずつなので、この上位「ABC」と下位「DEF」の並びで、4通りある。
そして、上位3チームを選ぶのが、6C3=20通りあるので、全部で、4×20=80(通り)ある。

(12) 4・4・3・3・1・0について
(10)の場合と同様に、「4・4・3・3・1」は、5チームの対戦の「3・3・2・2・0」の場合の数に、全敗の6チーム目が加わったと考えて、120×6=720(通り)。

(13) 4・4・3・2・2・0について
(10)の場合と同様に、「4・4・3・2・2」は、5チームの対戦の「3・3・2・1・1」の場合の数に、全敗の6チーム目が加わったと考えて、240×6=1440(通り)。

(14) 4・4・3・2・1・1について
1勝4敗の2チームに注目して表を埋めていく。1勝4敗のチームをE,Fとし、FがEに勝った場合は、次のような8通りに限定される。


下から順に、黒色の○×を配置していくと、赤色の○×の部分は必然的に決定される。太枠はその内部で1勝1敗の状態を表し、2通りある。
同じく1勝4敗のチームをE,Fとし、FがEに負けた場合を考えると、次の8通りになる。


FがEに負け、AまたはBまたはCに勝ったとき、その他の勝敗はかなり限定的になることがわかる。
このように、4勝がA,B、3勝がC、2勝がD、1勝がE,Fとしたとき、16通りが存在する。
よって、入れ替えを考えると、6C2×4C2×2C1×16=2880(通り)となる。

(15) 4・4・2・2・2・1について
まず、1勝4敗のチームがどこに勝ったかで場合分けし、次に4勝1敗の2チームが負けた相手を選んでいく。
1勝チームをFとし、4勝チームをA,Bとするとき、FがEまたはDまたはCに勝った場合は、それぞれ8通りずつのパターンが存在する。
FがEに勝ったとき

FがDに勝ったとき

FがCに勝ったとき

このように同じ傾向が見られるのだが、FがAまたはBに勝った場合は、ほぼ全体の勝敗が必然的に決まることになり、様子が大きく異なる。


具体的には、それぞれ2通りずつしかない。
以上のことから、全体として、28通りのパターンが存在する。また、4勝が2チーム、2勝が3チームあることから、チームの入れ替えを考えると、6C2×4C3×28=1680(通り)がある。

(16) 4・3・3・3・2・0について
(10)の場合と同様に、「4・3・3・3・2」は、5チームの対戦の「3・2・2・2・1」の場合の数に、全敗の6チーム目が加わったと考えて、280×6=1680(通り)。

(17) 4・3・3・3・1・1について
1勝の2チームと4勝の1チームの○×の組合せを考えると、


FがEに勝ち、EがBまたはCまたはDに勝つのがそれぞれ4通りあるが、EがAに勝つのは2通り。


FがBまたはCまたはDに勝つのがそれぞれ4通りあるが、FがAに勝つのは2通り。
これらを合わせて、28通りのパターンが見られる。
チームの入れ替えが、6C3×3C2=60 なので、全体では、60×28=1680(通り)。

(18) 4・3・3・2・2・1について
1勝チーム、4勝チーム、3勝チームの1つに注目して、整理してみた。


FがDまたはEに勝つ場合が、それぞれ14通りずつ。


FがBまたはCに勝つ場合が、それぞれ8通りずつ。


FがAに勝つ場合が、4通りある。
これらを合計すると48通りあり、チームの入れ替えにより、全体として、6C2×4C2×2C1×48=8640(通り)ということになる。

0 件のコメント:

コメントを投稿