シャボン膜の形と長さ（11）

④－(b) 六角形「ニ型」の場合

シャボン膜は、120°で交わる三叉路が4つつながった折れ線になる。（写真は2004年のときのもの）

この網目のような折れ線を一本の直線で表す作図について、これまでの手順に倣ってやってみる。
「ニ型」ということで、辺AFと辺CDに注目し、そこに正三角形AFGを描き、その頂点と残した1点Bを結ぶ線分で新たな正三角形BGIを描く。
反対側も同様に、正三角形EHJをつくって、その頂点同士を結んだ線分IJが、今回のシャボン膜の構造を表すものとなるだろう。

IKの長さは、KBとKGの長さの和に等しく、LJの長さは、LEとLHの長さの和に等しい。
すなわち、一旦は、平行四辺形GBHEの4頂点を結ぶシャボン膜を形成させてから、次の段階を考える。

上図より、KGの長さは、KMとMAとMFの和の形に表せ、LHは、LN＋NC＋NDで表せることが分かる。
すなわち、膜をつくる9本の線分の和は、もとの図の線分IJの長さに一致する。
そして、その長さは、IP＝2√3、PJ＝4 より、IJ＝2√7 になる。

今回のシャボン膜の形状は、平行四辺形ABOFと平行四辺形OCDEについてできるシャボン膜が2つ手をつないでいるようにも見える。
平行四辺形ABOFにおけるシャボン膜の長さは、GCの長さに等しいので、GC^2＝((3√3)/2)^2＋(1/2)^2＝7 から求めても、赤いシャボン膜全体の長さは、やはり 2√7 になる。