リーグ戦の勝敗とゲーム差（3）

［4］5チームの場合

A,B,C,D,Eの5チームが総当たり戦を行うと、全部で10試合を行うことになる。

このとき、右上の10マスに○か×を埋めるパターンは、2^10＝1024 あるので、勝敗のパターンは全部で1024通りあることになる。
勝敗パターンを表に埋め込んでいくと、×に置き換えたマスの配置が規則正しく変化していく。これは、2進法の記号とみなすこともできそうだ。

5チームが、それぞれ他の4チームと試合を行うとき、ゲーム差が異なる勝敗パターンとしては、次のような9通りが考えられる。

(1) 4・3・2・1・0（4勝・3勝・2勝・1勝・0勝の5チームができるという意味）
(2) 4・3・1・1・1
(3) 4・2・2・2・0
(4) 4・2・2・1・1
(5) 3・3・3・1・0
(6) 3・3・2・2・0
(7) 3・3・2・1・1
(8) 3・2・2・2・1
(9) 2・2・2・2・2

これらがそれぞれ何通り存在するかを調べるのは、けっこうたいへんそうだが、「あきらめずに考え」ていこう。

(1) 4・3・2・1・0
(2) 4・3・1・1・1
(3) 4・2・2・2・0
(4) 4・2・2・1・1　の4つの場合について、
最初の「4」を除くとそれぞれ、

(1) 3・2・1・0、(2) 3・1・1・1、(3) 2・2・2・0、(4) 2・2・1・1

になる。これは、「［３］４チームの場合」ですでに調査済みのものである。つまり、下図のように、４チームの勝敗パターンの上に全勝チームを１つ加えたものとして扱うことができる。

全勝チームは、５チームのいずれかなので、前回の4チームの結果を５倍すればよい。したがって、
(1) 4・3・2・1・0について
前回の「3・2・1・0」が24通りだったので、24×5＝120（通り）

(2) 4・3・1・1・1について
前回の「3・1・1・1」が8通りだったので、8×5＝40（通り）

(3) 4・2・2・2・0について
前回の「2・2・2・0」が8通りだったので、8×5＝40（通り）

(4) 4・2・2・1・1　の4つの場合について、
前回の「2・2・1・1」が24通りだったので、24×5＝120（通り）

といった具合になる。