④ 六角形の場合
正六角形の6つの頂点のすべてを使ってシャボン膜をつくる。
できる正六角形は1種類だが、シャボン膜のつきかたには複数の形がありそうだ。
これまで、四角形および五角形について、対辺の組（隣り合わない2辺の選択）に注目して、それぞれ2通りと3通りあることから、膜の張り方の違いを考えてきた。
六角形の場合も、対辺の組（隣り合わない2辺または3辺の選択）として可能性のあるものを、次の3つのパターンで表した。
それぞれのパターンに相応しい「三叉路」の置き方について、プラ板であたりをつけてみると、
(a)については、それぞれ連なる直線が互いに120°をなすためには、6辺のうち5辺に沿うことになりそうだ。
(b)については、三叉路が4箇所に現れ、それぞれの三叉路で120°のバランスをとることができそうである。
(c)についても、三叉路が4箇所に現れるが、対称的な配置で、バランスがよさそうである。
これらのパターンについて、選んだ辺の並び方から、(a)は「ハ型」、(b)は「ニ型」、(c)は「ロ型」というように名前をつけておく。（ロ型というには無理があるが、ナブラ型（∇型）というのもなんだかなあ。）
④－(a) 六角形「ハ型」の場合
シャボン膜は、六角形の6辺のうち、5辺に沿った折れ線になる。
注目した2つの辺にそれぞれ正三角形を描き、その頂点と残した1点を結ぶ線分で新たな正三角形を描く。これを対称的に2つ行ってできた大きな正三角形の頂点同士を結ぶことで、これが一つの最短経路の説明図になると考える。
3点A,B,Cを結ぶ最短経路は、G→B→Cが一直線に並ぶこと、3点G,C,Dを結ぶ最短経路は、I→C→Dが一直線に並ぶことであるので、両側において同様の状況から、IJの線分に集約されることになる。
膜の長さは、IJの長さに一致するので、この「ハ型」場合のシャボン膜の長さは、「5」である。
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