リーグ戦の勝敗とゲーム差（2）

［3］4チームの場合

A,B,C,Dの4チームが、総当たり戦を行うと、合計6試合を行うことになる。
たとえば、Aが3勝、Bが2勝、Cが1勝したときの対戦表はこんな感じだ。（「×」は省略）

対戦結果の可能性は、右上の6つのマスに○か×をつける場合の数を数えることになるので、2^6＝64 通りが考えられる。

また、異なるゲーム差が生じる勝敗パターンとしては、
(1) 3勝・2勝・1勝・0勝
(2) 3勝・1勝・1勝・1勝
(3) 2勝・2勝・1勝・1勝
(4) 2勝・2勝・2勝・0勝　の4通りが考えられ、かつ、これ以外にない。

64通りを並列に並べて調べる方法もあるが、(1)～(4)がそれぞれ何通りあるかを考える方が早そうだ。

(1) 3勝・2勝・1勝・0勝について
3勝するチームとしてA,B,C,Dの4通り、2勝するチームはその3連勝チームを除く3通り、1勝するチームは上位2チームを除いた2通り、0勝チームは残された1通り。

よって、4×3×2＝24（通り）。

(2) 3勝・1勝・1勝・1勝について
3勝するチームはA,B,C,Dの4通り、残る3チームが1勝ずつ分けるのは、［２］の(2)で扱った「 1勝・1勝・1勝」になるパターンなので、2通り。

よって、4×2＝8（通り）。

(3) 2勝・2勝・1勝・1勝について
2勝するチームが2つあるパターン（たとえば、A,Bが2勝する）を考えると、

という4通りになる。水色のマスを埋めたとき、「2・2・1・1」になるためには、残りのマスの○×は必然的に決定される。

（黒色の○×はマスを選んで入れたもので、赤色の○×はそこにしか入らなくなったものを示す。）
4チームのうち、上位2チームを選ぶ組合せは、4C2＝6通りなので、全体としては、6×4＝24（通り）となる。

(4) 2勝・2勝・2勝・0勝について
0勝のチームになる可能性はA,B,C,Dの4通りあるが、この場合、残りの3チームは互いに「 1勝・1勝・1勝」になること（2通りある）を意味する。

よって、4×2＝8（通り）。

(1)～(4)の場合の数を合計すると、24＋8＋24＋8＝64 となり、最初に求めた「2^6=64」に一致する。

これらの勝率とゲーム差について見てみると、
(1)の場合、勝率は「1.0、0.67、0.33、0.0」、ゲーム差は「―、1.0、2.0、3.0」
(2)の場合、勝率は「1.0、0.33、0.33、0.33」、ゲーム差は「―、2.0、2.0、2.0」
(3)の場合、勝率は「0.67、0.67、0.33、0.33」、ゲーム差は「―、0.0、1.0、1.0」
(4)の場合、勝率は「0.67、0.67、0.67、0.0」、ゲーム差は「―、0.0、0.0、2.0」

のようになる。
したがって、総当たり戦を終えて、ゲーム差が「1.0、2.0、3.0」になるのは、24/64（0.375）の確率になる。

ちなみに、すべての場合を列挙してみるとこうなる。