2022年10月28日金曜日

リーグ戦の勝敗とゲーム差(7)

 (19) 4・3・2・2・2・2について
4勝チーム、3勝チーム、2勝チームの一つに注目して、整理すると、


AがBに負ける場合は、24通りあるが、


AがCまたはDまたはEまたはFに負ける場合は、それぞれ14通りずつになる。
合計80通りについて、入れ替えを行うと、6C4×2C1×80=2400(通り)。

(20) 3・3・3・3・3・0について

(10)の場合と同様に、「3・3・3・3・3」は、5チームの対戦で「2・2・2・2・2」が起こる場合の数(24)に、全敗の6チーム目が加わったと考えて、24×6=144(通り)。

(21) 3・3・3・3・2・1について
1勝チーム、2勝チーム、3勝チームの一つに注目して、整理すると、


FがEに勝つ場合は、24通りあり、


FがDまたはCまたはBまたはAに勝つ場合は、それぞれ14通りずつになる。
合計80通りで、入れ替え分を考えると、6C4×2C1×80=2400(通り)。

(22) 3・3・3・2・2・2について
2勝3敗の3チームに注目し、3チームにおける2つの○の配置を考えるのだが、これを予想するのは難しい。Fが勝つ2チームの組は、(D,E),(C,E),(C,D),(B,E),(B,D),(B,C),(A,E),(A,D),(A,C),(A,B)の10通りあるので、それぞれについて調べてみると、


(D,E)の場合で、24通り。


(C,E),(C,D),(B,E),(B,D),(A,E),(A,D)の場合で、それぞれ14通り。


(B,C),(A,C),(A,B)の場合で、それぞれ8通りがあることが分かる。
これらの合計は、24+14×6+8×3=132(通り)で、入れ替えが、6C3=20(通り)なので、全体では、20×132=2640(通り)になる。

6チームによる試合のこれまでの結果をまとめてみると、次のようになる。
(1) 5・4・3・2・1・0  ゲーム差[―,1,2,3,4,5]   720(0.022)
(2) 5・4・3・1・1・1  ゲーム差[―,1,2,4,4,4]   240(0.007)
(3) 5・4・2・2・2・0  ゲーム差[―,1,3,3,3,5]   240(0.007)
(4) 5・4・2・2・1・1  ゲーム差[―,1,3,3,4,4]   720(0.022)
(5) 5・3・3・3・1・0  ゲーム差[―,2,2,2,4,5]   240(0.007)
(6) 5・3・3・2・2・0  ゲーム差[―,2,2,3,3,5]   720(0.022)
(7) 5・3・3・2・1・1  ゲーム差[―,2,2,3,4,4] 1440(0.044)
(8) 5・3・2・2・2・1  ゲーム差[―,2,2,3,3,4] 1680(0.051)
(9) 5・2・2・2・2・2  ゲーム差[―,3,3,3,3,3]   144(0.004)
(10) 4・4・4・2・1・0  ゲーム差[―,0,0,2,3,4]   240(0.007)
(11) 4・4・4・1・1・1  ゲーム差[―,0,0,3,3,3]     80(0.002)
(12) 4・4・3・3・1・0  ゲーム差[―,0,1,1,3,4]   720(0.022)
(13) 4・4・3・2・2・0  ゲーム差[―,0,1,2,2,4] 1440(0.044)
(14) 4・4・3・2・1・1  ゲーム差[―,0,1,2,3,3] 2880(0.088)
(15) 4・4・2・2・2・1  ゲーム差[―,0,2,2,2,3] 1680(0.051)
(16) 4・3・3・3・2・0  ゲーム差[―,1,1,1,2,4] 1680(0.051)
(17) 4・3・3・3・1・1  ゲーム差[―,1,1,1,3,3] 1680(0.051)
(18) 4・3・3・2・2・1  ゲーム差[―,1,1,2,2,3] 8640(0.264)
(19) 4・3・2・2・2・2  ゲーム差[―,1,2,2,2,2] 2400(0.073)
(20) 3・3・3・3・3・0  ゲーム差[―,0,0,0,0,3]   144(0.004)
(21) 3・3・3・3・2・1  ゲーム差[―,0,0,0,1,2] 2400(0.073)
(22) 3・3・3・2・2・2  ゲーム差[―,0,0,1,1,1] 2640(0.081)
                    合計  32768( 1.00 )

32,768通りの勝敗パターンがすべて同様に確からしい(起こりやすさが同じ)としたとき、(1)~(22)の事象の確率は、右端の( )内の数値になる。
これを見ると、ゲーム差が[―,1,2,3,4,5]((1)の場合)になるのは、約2.2%ということで、めったに見られないというのは確かだが、22種類もの事象に散らばることによって、それぞれの確率が小さくなったからともいえる。
確率2.2%(720通り)の事象は4つあり、全22個のうち、上から12番目、下から8番目に位置するので、相対的に「とても低い」とはいいがたい。
むしろ、パターン(11)の「3チームが4勝1敗、3チームが1勝4敗」という、ゲーム差[―,0,0,3,3,3]が現実に起こったら、これはかなり珍しい(約0.2%)といってよいだろう。


しかし、勝ち数・負け数・勝率・ゲーム差が規則的に階段状に並ぶ、3/30の順位表はやはり美しく、特別な現象として話題になってもおかしくない。
ちなみに、3/31時点での結果もなかなか美しいのだが、1戦ずつの総当たりではない(6チームで合計18試合を行った)ので、勝ち数・負け数・勝率・ゲーム差を、均等に階段状に並べることはそもそもできない。

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