いろいろな平均（1）

「平均」はいろいろな場面で使い分けが必要である。

 

① 相加平均（Arithmetic mean）

　M1＝(a+b)/2

　昨日の売り上げが2万円、今日の売り上げが6万円。2日間の平均売り上げはいくらか。

　(2+6)÷2＝4　4万円

② 相乗平均（Geometric mean）

　M2=√(ab)

　ここ2年間で年間売り上げが200万円から600万円に伸びた。2年間の平均伸び率と、平均伸び率から換算した昨年の売り上げはいくらか。

　√(600÷200)＝√3　√3倍　　200×√3≒346　346万円

　√(200×600)≒346　346万円

③ 調和平均（Harmonic mean）

　M3=2ab/(a+b)

　行きは時速20kmで、帰りは時速60kmで走った。往復の平均時速はいくらか。

　2x÷(x÷20＋x÷60)＝30　30km/h

　2×20×60÷(20+60)＝30　30km/h

④ 二乗平均平方根（root-mean-square）

　M4＝√((a^2+b^2)/2)

　一辺がそれぞれ2cmと6cmである正方形の板チョコ2枚を、一度溶かして同じ大きさの正方形の板チョコ2枚をつくるときその一辺（平均面積をもつ正方形の一辺）はいくらか。

　√((2^2+6^2)/2)≒4.47　4.47cm

2数a､bとこれら4つの平均値を幾何的に表現してみよう。

半円Oの直径AB上に、AC:CB＝a：bとなる点Cをとる。線分CD､OEはそれぞれABに垂直であるとする。

このとき、OEは半径なので、(a+b)の半分、すなわち、x＝(a+b)/2　…相加平均

△OCDは直角三角形なので、CD^2＝OD^2ーOC^2＝((a+b)/2)^2ー((b-a)/2)^2

＝(2ab+2ab)/4＝ab、すなわち、ｙ＝√ab　…相乗平均

△OCD∽CFDから、OD：DC＝CD：DFがいえるので、DF＝CD^2÷OD

＝ab÷((a+b)/2)＝2ab/(a+b)、すなわち、z＝2ab/(a+b)　…調和平均

△OCEも直角三角形なので、CE^2＝OC^2＋OE^2＝((a+b)/2)^2＋((b-a)/2)^2

＝2(a^2+b^2)/4＝(a^2+b^2)/2、すなわち、w＝√((a^2+b^2)/2)　…二乗平均平方根

ｚ≦ｙ≦ｘ≦ｗ（③ 調和平均 ≦ ② 相乗平均 ≦ ① 相加平均 ≦ 二乗平均平方根）であることが図から読み取れる。

また、点Cが点Oに重なるとき（a=bのとき）、ｚ＝ｙ＝ｘ＝ｗ　となる。