ランダムに引いた弦の長さ（1）

いよいよ「ベルトランのパラドックス」に関わる「円にひいた弦」について考えていこう。

円の中にランダムに引いた弦の長さはどれくらいか、その弦の長さの平均値（期待値）を求めようというものである。

まず初めに「ランダムに引く弦」をどのように定義するか、を明らかにしておく必要がある。

いくつかの方法があるので、順に調べてみたい。

（1）円周上に適当な2点をとるとき、2点間の距離はどれくらいになるか。

① 方法1

下図のように、原点を中心とする半径1の円を描き、点A(1,0)を固定して、適当な点B(x,y)までの距離を測ることを考える。

点Bは上半円の円周上にあるものを考えれば十分であろう。

この場合、点Bの座標は、始線OAと動径OBのなす角θを用いて、(cosθ,sinθ) と表せるので、

AB＝√((1ーcosθ)^2＋(sinθ)^2)　

　 =√(1-2cosθ＋(cosθ)^2＋(sinθ)^2)

　 ＝√(2(1ーcosθ))＝√(4･(sin(θ/2))^2)＝2sin(θ/2)　と表せる。

点Bを、0≦θ≦πで動かすときのABの長さの平均値（期待値）を求めればよいので、

2sin(θ/2) を 0→π で積分して ［－4cos(θ/2)］( 0→π)＝4、これを (πー0) の範囲で割ればよいから、

その平均値は、4÷π＝4/π　およそ、1.27　となる。

② 方法2

①のときと同様に、原点を中心とする半径1の円を描き、点A(1,0)を固定して、適当な点B(x,y)までの距離を測る。

ただし、点Aにおける接線ATと弦ABのなす角θを0からπ/2まで変化させるときの点Bの移動を考えている。

この場合、中心Oから弦ABに下ろした垂線の足をHとすると、∠TAB＝∠AOH （ともに90°－∠OAB）であり、

OA＝1 なので、AH＝sinθ、すなわち、AB＝2sinθ　となる。

2sinθ を 0→π/2 で積分して、［－2cosθ)］( 0→π/2)＝2、これを (π/2ー0) の範囲で割ればよいから、

その平均値は、2÷(π/2)＝4/π　およそ、1.27　となる。

①と②を比べてみると、

接弦定理より ∠TAB＝∠ACB、円周角の定理より ∠AOB＝2∠ACB がいえる。

①の考え方を使うと、θ＝φ/2 より、点Bの座標は、(cos(2θ), sin(2θ)) と表せるので、AB＝2sinθ　が導ける。

つまり、点Aのまわりに線分ABを回転させる考え方と、点Oのまわりに線分OBを回転させる考え方は同じということがわかる。