ランダムに引いた弦の長さ（3）

引き続き、円の中にランダムに引いた弦の長さを調べる。

（2）半径（直径）上に適当な点をとるとき、その点を通り半径に垂直な弦の長さはどれくらいになるか

④ 方法4

下図のように、中心が原点にある単位円の半径OA上に適当な点Bをとり、Bを通りOAに垂直な弦CDの長さに注目する。

定点A(1,0)、動点B(x,0) とすると、点Cの座標は、(x,√(1ーx^2))と表せ、CD＝2√(1ーx^2)　となる。

点Bを、0≦x≦1 で動かすときのCDの長さの平均値（期待値）を求めるためには、

2√(1ーx^2) を 0→1 の範囲で積分すればよい。

つまり、上のグラフは、f(x)＝2√(1ーx^2)（0≦ｘ≦1）を示すが、x軸、y軸、f(x)で囲まれた面積は、

x＝sinθ とおいて置換積分して、2((cosθ)^2)･cosθ＝1＋cos(2θ)  を 0→π/2 で積分することになり、［θ＋(1/2)sin(2θ)］( 0→π/4)＝π/2　となる（半円の面積）。

これを (1ー0＝1) の範囲で割って、その平均値は、π/2　およそ、1.57　となる。

③と④を比べてみよう。

③では、∠COA＝θによって、弦CD＝2sinθ と定義し、0≦θ≦π/2 の範囲でその変化を扱い、

④では、点Bの座標をｘとして、弦CD＝2√(1ーx^2) と定義し、0≦ｘ≦1 の範囲でその変化を扱った。

どちらも、右半円の領域で、CDの長さを0から2まで変化させていることに変わりないのだが、

③では、平均値が、4/π（≒1.27）

④では、平均値が、π/2（≒1.57）　という違いが現れた。

これは、円周上の点の集合を1（全体）としたものと、半径上の点の集合を1（全体）としたものの違い（確率測度の違い）によると考えられる。よく似たアプローチで解いているが、測度が異なると結果（平均の長さ）も異なるのである。