円周上の2点がつくる弧の長さ

線分上の2点間の距離の考えを円周上に拡張してみる。

円周上にランダムに2点をとるとき、2点を結ぶ短い方の弧の長さはどれくらいか、を考える。

ランダムな2点がつくる弧の長さの平均を求めるということだ。

原点を中心とする単位円上において、片方の点Aを固定して、点Bを円周に沿って動かすとき、弧ABの長さは動径OBが回転した角度θに等しい。

短い方の弧を選ぶので、上半円のみで考えると、角度θが0からπまで変化するときの弧の長さθの平均値（期待値）を求めればよいので、

f(θ)＝θ の積分（0→π）を計算すると、［(1/2)θ^2］（0→π）＝(1/2)π^2

これを π－0＝π で割って平均をとると、θ＝π/2　となる。

これを図で表すと、青い図形の面積を底辺の長さで割ったものと考えられる。

つまり、円周上のランダムな2点がつくる弧の長さの平均は π/2 である。半円周は、その中点でバランスをとっている。