④ 二乗平均平方根 √((a^2+b^2)/2)
台形ABCDの面積を等分するEFを定める。台形ABEF＝台形FECDなので、
BE＝kd、EC＝keとすると、(a＋c)×kd÷2＝(c＋b)×ke÷2より、d：e＝(b＋c)：(a＋c)
と表せることから、c＝a＋(bーa)×(b＋c)/(a＋b＋2c) がいえる。
これを解くと、c^2＝(a^2＋b^2)/2、すなわち、c＝√((a^2+b^2)/2) が導ける。
・d：e＝(b＋c)：(a＋c)
・一辺がそれぞれa､bの正方形の面積の和が、一辺cの正方形2つ分の面積に等しいということ。
・トイレットペーパーの真ん中を求める問題（以前に掲載）では、この二乗平均平方根を用いた。
全体の半径をa、芯の半径をbとしたとき、長いロールペーパーの真ん中付近までの半径（ある意味「平均」といえるだろう）をxとして、これを求めると、
π(x^2)ーπ(b^2)＝π(a^2)ーπ(x^2) より、2(x^2)＝a^2＋b^2 すなわち、x＝√((a^2+b^2)/2) となる。
（蛇足）このとき、下右図の2本の赤い接線の長さは等しくなる。
4つの「平均」をまとめてみると、
BE/ECは、それぞれ、① 1、② √a/√b、③ a/b、④ (b+c)/(a+c) なので、
0＜a≦b とすると、 ③ a/b ≦ ② √a/√b ≦ ① 1 ≦ ④ (b+c)/(a+c) がいえる。
すなわち、点Eが点B側に近い順番は、③ 調和平均、② 相乗平均、① 相加平均、④ 二乗平均平方根 であり、その平均値（EFの長さ）も、③ 調和平均 ≦ ② 相乗平均 ≦ ① 相加平均 ≦ 二乗平均平方根 となる。
また、a=bのとき、すべてのEFの長さは等しく、a およびb に一致することがこれらの図から読みとれる。
さらに、① 相加平均 (a+b)/2、② 相乗平均 √(ab)、③ 調和平均 2ab/(a+b) について、
((a+b)/2)×(2ab/(a+b))＝(√(ab))^2 が成り立つので、
2数の相乗平均は、「相加平均」と「調和平均」の「相乗平均」であることがわかる。
このことからも、③ 調和平均 ≦ ② 相乗平均 ≦ ① 相加平均 の関係が確かめられる。
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