いろいろな平均（2）

① 相加平均（Arithmetic mean）　M1=(a+b)/2

② 相乗平均（Geometric mean）　M2=√(ab)

③ 調和平均（Harmonic mean）　M3=2ab/(a+b)

④ 二乗平均平方根（root-mean-square）　M4＝√((a^2+b^2)/2)

これら4つの「平均」について、幾何学的な意味をもう少し深めてみよう。

AB＝a、DC＝b、AB∥DCの台形ABCD内に、

① (a+b)/2、② √(ab)、③ 2ab/(a+b)、④ √((a^2+b^2)/2)

の長さをもつ線分EFを引きたい。ただし、BC上にEを、AD上にFをとり、AB∥FEとなるように引くこととする。①～④は、それぞれどこに位置するか。

① 相加平均　(a+b)/2　について

BCの中点をEとする（d：e＝1：1）とき、c＝(a+b)/2　となる。

・EFは、ABとCDから等距離にある平行線。

・台形ABCEの面積＝BC×EF。

・a→c→bは、公差 (bーa)/2の等差数列。

② 相乗平均　√(ab)　について

台形ABEFと台形FECDが相似になるように点Eを定めると、

a：c＝c：b　となるので、c^2＝ab　すなわち、c＝√(ab)　になる。

・d：e＝√a：√b

・a→c→bは、公比 √(b/a) の等比数列。

・a､bを2辺とする長方形を裁ち合わせることによって、一辺cの正方形がつくれるということ。

③ 調和平均　2ab/(a+b)について

対角線ACとBDの交点Gを通り、ABに平行な直線FEを引くと、△AGB∽△CGDより、

BE：EC＝a：bなので、EF＝a＋(bーa)×a/(a＋b)＝2ab/(a＋b)

すなわち、c＝2ab/(a＋b)になる。

・d：e＝a：b

・aとbの逆数の平均がcの逆数になる、(1/a＋1/b)/2＝1/c　ということ。

・BCを一辺とする折り紙で、a､bの長さを定めると、a/(a＋b)の位置が導ける。

　（例：a＝1、b＝2のとき、辺の1/3の位置が求められる。）