ビー玉を積む（1）

敷き詰められたビー玉の上に2段目のビー玉を積むとき、互いに接する3個のビー玉がつくる凹みの上に置くのが安定し、また1段目と同様の形状で平面を埋めることが可能になる。ここでは、「ビー玉を収める（2）」の［配列B］のビー玉の上に、7個のビー玉を置いてみた。

このとき、ビー玉の直径を1として、2段のビー玉の層の厚さ（垂直方向の高さ）はいくらになるか。

「ビー玉を収める（3）」での考え方と基本的に同じだが、今回は3つの球の上に1つの球が接した構造になるので、球の中心を結んだ図形は正四面体（辺の長さが全て同じ正三角錐）になる。この正四面体の高さhは、一辺の長さ（球の直径）を1とすると、h^2＝1ー((√3)/3)^2＝2/3　すなわち、h＝(√2)/(√3)≒0.82　となる。したがって、2層の厚さ（2段目までの高さ）は、0.82＋0.5×2＝1.82　となる。

2段目と同様にさらに3段目までビー玉を積んで、各層とも密な状態の3層構造をつくることを考える。このとき、ビー玉の置き方によって異なる構造パターンがでてくる。それは、どのような形状のものか。

実際にビー玉を3段に積んでみた。

［構造A］1層目のビー玉と3層目のビー玉の位置が同じになる（緑色と黄色のビー玉が垂直方向にそろう）。

［構造B］1層目、2層目、3層目のビー玉の位置が重なることがない（3色のビー玉は垂直方向にそろわない）。

では、4層目のビー玉を、垂直方向に下位のビー玉に重ならないように配置することは可能だろうか。

これはできない。理由は次の通り。

層が密な状態であるとき、ビー玉は正六角形の形状に配置される（赤色の円）。すると、凹みもまた正六角形状に配置されることになる。

この凹みの上に同じく密な2層目（黄色の円）を置く。2層目の凹みは、赤円のところ3つと空きのところ3つからなる正六角形状をしている。

3層目（青色の円）について、赤円の上に置くこともできるが、1層目と2層目の空きのところに置いてみると、3層目の凹みの垂直方向には、赤円と黄円がすでに埋まっていることになる。なので、次に4層目を置こうとする場合、1層目（赤円）か2層目（黄円）のいずれかのビー玉の位置と同じになってしまうのだ。