順を追って考える

図のように4つのブロックに名前をつける。
まず、Ａブロックに1,2,3,4を配置する方法は、4!＝24通りある。
次に、Ｂブロックに1,2,3,4を配置する方法は、2×2＝4通り。
同様に、Ｃブロックに配置する方法も2×2＝4通りあるのだが、何でもよいというわけにはいかない。

例えば、Ａブロックの上が1,2、下が3,4の場合、Ｂブロックの縦の組合せには｛3,1｝か｛3,2｝が必ず含まれ、Ｃブロックの横の組合せには｛2,1｝か｛2,3｝が必ず含まれる。Ｂの｛3,2｝とＣの｛2,3｝が同時に現れるとき、Ｄブロックには1,2,3,4のいずれも置けないマス目が出てきてしまう。
（着目する数字の組は何でもよいが、｛｛○,△｝,｛○,□｝｝と｛｛□,△｝,｛□,○｝｝のような組合せが必ず現れ、そしてそこには、｛○,□｝と｛□,○｝がそろう場合が出てくるということ。）
つまり、Ｂブロックの配置に対して、Ｃブロックでの数字の置き方は4通りではなく、3通りに限定される。
（ＢとＣにおける数字の置き方が16通りでなく、12通りになるといってもいい。）
その後、Ｄブロックに入る数字の配置は必然的に決まるので1通り。
したがって、24×4×3×1＝288通り。

4色で16マスを塗り分けるとき、行・列・ブロックに同じ色が現れないようにする方法も288パターンとなる。