ビー玉を収める（3）

結果は次の通り。

1段目が16個、2段目が9個、3段目が16個、4段目が9個、そして5段目が16個となっている。全部で、16＋9＋16＋9＋16＝66個　が収まった。

したがって、新たに2個のビー玉が追加できるのだ。

4つの球の上に1つの球が接している構造なので、球の中心を結ぶと辺の長さが全て同じ正四角錐（ピラミッド型）になる。このビラミッドの高さhは、一辺の長さ（球の直径）を1とすると、h^2＝1ー((√2)/2)^2＝1/2　すなわち、h＝1/(√2)＝(√2)/2≒0.71　となる。

5段積んだときの高さは、0.71×4＋0.50×2＝3.84　となるので、ちゃんと蓋がしめられる（余裕がある）。

この構造は、「面心立方格子」になっている。

この構造の充填率（空間における球の占める割合）を求めてみよう。

4個の球の中心を結ぶ正方形を下底面（1段目）とし、その真上にくる4個の球の中心がつくる正方形を上底面（3段目）とする直方体をユニット（繰り返し単位）と考える。直方体の体積は、1×1×√2＝√2≒1.41　であり、このユニットの中には、全球が1個と8分の1球が8個入っているので、その2球分の体積は、4/3×3.14×0.5^3×2≒1.047　したがって、充填率は、1.047÷1.41≒0.742≒74％　となる。

ちなみに、ケースに64個のビー玉を詰めていた、直交する3軸方向に整列させた構造（単純立方格子と呼ぶ）の場合の充填率は、1個の球がぴったりと収まる立方体がユニットと考えられるので、4/3×3.14×0.5^3÷1≒0.523≒52％　となる。

ビー玉の体積と隙間の体積が同じくらいというのはちょっと意外だ。