積んだ団子をつぶす（4）

④［稠密六方格子］の場合

稠密六方格子の構造についても、ビー玉を積んで表す方法は何通りか考えられる。

（a）7－3－7型
上面と底面に正六角形状の7個、その間に3個の球を配置する稠密六方格子の典型的な構造。

（b）3－7－3型
上記の「7－3－7型」の積み方を変えたもの。中央の赤い球に着目すると、上に3個、周囲に6個、下に3個の計12個の球に囲まれた（接した）構造になっている。「面心立方格子」とよく似ているが、1層目の緑色と3層目の紫色の球が同じ方向を向いた正三角形になっており、これが上と下から赤色の球を挟むので、やや対称性を欠くことになる。

押しつぶした団子の形を（ｂ）の状態から考える。

面心立方格子の場合と同様に、周囲の青の層から圧迫された中央の球（赤色）は、側面を六角柱のように変形させられる。これを上から3つの紫色の球が押さえつけるので、とんがりの3面屋根が形成され、下から緑色の球が押し返し、やはりとんがりの3面床を形成すると考えられる。しかし、今回は、上下の正三角形の向きが同じであるので、とんがり屋根ととんがり床の向きが鏡対称になり、側面の上辺と下辺が平行でなくなると思われる。
ことばで説明するのは難しいので、これを厚紙でつくってみると。

これは、菱形台形十二面体と呼ばれ、菱形6枚と台形6枚から構成され、3面が集まる頂点が8個、4面が集まる頂点が6個ある。上の写真は、それぞれ、＜上から＞、＜下から＞、＜横から＞、＜4面がつくる頂点側から＞見たものである。　　　
また、菱形台形十二面体も一種類だけで空間を充填することができる。

実際に、いくつかの菱形十二面体を積み重ねてみよう。
菱形十二面体と同様に、3つの立体の凹みに1個が乗るので、四面体構造になるのだが、異なるところは、1層目と2層目で屋根の3枚の菱形の向きが反転している（60°回転ともとれるが）ことだ。また、横から見ると、側面の台形の様子がよく分かる。

1個の周りに6個の立体が接する構造も、菱形十二面体と同様である。上から見たときには、菱形十二面体と菱形台形十二面体の区別はつかない。

菱形十二面体の場合には、4個の接続した立体の上に1個を積む、あるいは、上下左右を挟んだ十文字の形に並べることができたが、菱形台形十二面体では、それができない。

そして、菱形十二面体と菱形台形十二面体の決定的な違いは、この立体を3段に重ねたときに明らかになる。

＜菱形十二面体の場合＞
下の写真のように、3つの立体をくっつけて並べるとき、上からみた形と下から見た形が異なり、2段目を重ねるときには、その形が入れ替わる（同じ形がずれる、といってもよい）。3段目をその上におくとき、1段目の真上と異なる位置に凹みが現れるので、3段の立体の位置は真上方向にそろわない構造であることが分かる。

＜菱形台形十二面体の場合＞
3つの立体をくっつけて並べるとき、上から見た形と下から見た形は同じになる（一種類しかない）。そして、2段目を重ねたとき、2段目の凹みは必ず1段目の立体の真上の位置にくるので、3段目は1段目の真上にしか置けない。つまり、2層パターンが繰り返される形になるのだ。

参考までに、菱形台形十二面体（左）と菱形十二面体（右）の展開図は次の通り。