折り紙で模様づくり（3）

（3）統合的・発展的に考える

折り紙模様の特徴や対称性にだけ注目する取り組みもありうるが、一歩踏み込んで、その折り方について調べてみようと思う。

小片の先が45°（8つ折りまたは4つ折りという）や30°（12折りまたは6つ折り）になるように折る折り方については、誰もが納得できると思う。しかし、36°（10折りまたは5つ折り）については、どうしてそうなるのだろうと疑問をもったり、別の方法もあるのかなと考えたりすることがありそうである。

昨日やった、10折り（5つ折り）の折り方は、本当に正しかったんだろうか。という疑問からスタートしよう。

（a）左4分の1の印の所に、長方形の角を重ねる方法（前回のやり方）

この折り方では、直角を挟む2辺が3：1である直角三角形をつくって、18°に近い折り目を求めて、そこから36°をつくった。
実は、tan θ＝1/3　となるθは、約18.43°であり、わずかにズレ（2.4%）ている。

折り紙の10折り（5つ折り）の方法については、いくつか流儀のようなものがあって、ネットで紹介されているものには次のようなものがある。

（b）三角形に折って、4分の1の折り目をつける方法

（c）長方形に折って、辺の中点同士を重ねる方法

（b）（c）どちらも、（a）と同様、3：1の辺をもつ直角三角形を利用して、36°（18°）の近似値を導く手法となっている。
これ以外の方法で、10折り（または5つ折り）を紹介するものは見当たらなかった。そこで、これらとは異なる方法で、もっと正確な36°をつくる折り方がないか考えてみた。

（d）4分の1の線に折り紙の角を重ねる方法（その1）

①折り紙をEFで半分に折り、更にGHで半分に折る。
②点Cと点Gを重ねて、点線の折り目をつけ、GHとの交点をIとする。
③点Iと点Eを重ねたときの折り目を一点鎖線で表すと、色のついた角が、約72°になる、というもの。
＜その理由＞
△GBCが3：4：5の直角三角形で、また、△IJGと相似であることから、GIの長さが分かる。
GE/GI＝8/25＝0.32より、∠EIG≒17.74°（ズレ度合い1.4％）。よって、色のついた角は、約72°になる。

（e）4分の1の線に折り紙の角を重ねる方法（その2）

①折り紙をEFで半分に折り、更にGHで半分に折る。
②点Aと点Hを重ねて、点線の折り目をつけ、GHとの交点をIとする。
③点Iと点Gの中点をJとし、点Jと点Fを重ねたときの折り目を一点鎖線で表すと、色のついた角が72°になる、というもの。
＜その理由＞
三角形の相似を使うと、JHの長さが分かる。HF/JH＝16/49≒0.3265より、∠FJH≒18.08°（ズレ度合い0.4%）になる。よって、色のついた角は、約72°になる。

（e）の方法で、かなり正確な値に近づけることができた。とはいえ、これまでのいずれの場合も、近似値にすぎない。
正確な36°を求める折り方はあるのだろうか。その話は、明日に。