シャボン膜の形と長さ（2）

①－(b) 直角三角形の場合

シャボン膜は、三角形の内部の1点と3頂点を結んだ三つ叉の形になる。

この「内部の1点」がどこに位置するかが重要である。
図のように、ABを一辺とする正三角形ABD、および、適当な点Eに対してAEを一辺とする正三角形AEFを描く。

△AEBと△AFDは合同な三角形になるので、点Eから3頂点に引いた線分の和は、BE＋AE＋EC＝DF＋FE＋ECと表せる。
これが最小になるのは、D,F,E,Cが一直線に並ぶときなので、∠AEC＝120°、∠DFA＝∠BEA＝120°のときと分かる。
このような点Eは、フェルマー点と呼ばれている。

このシャボン膜の長さは、正六角形の一辺の長さを1とすると、CG＝√3/2、DG＝5/2より、CD＝√7≒2.6 になる。

フェルマー点を作図するには、次のような方法がある。

△ABCの2辺を選び、それぞれの辺を一辺とする正三角形について、①それぞれの外心円の交点を求める、または、②正三角形をくっつけた四角形ACBDと四角形ABCHの対角線の交点を求める。

動的幾何学ソフト「Cinderella」を使って、「フェルマー点をみつけてみよう」（https://www.fumita.org/p/bycinderella.html）というWeb教材を作ったので、リンク先にて実際に触ってみてほしい。

これを動かしてみると、①(a)で取り上げた∠BAC＝120°となるような三角形では、フェルマー点（E）は頂点Aに位置することも分かる。