シャボン膜の形と長さ（4）

② 四角形の場合

正六角形の6つの頂点から4つを選んで四角形をつくる。このときできる四角形の形は次の3種類。

②－(a) 等脚台形の場合

シャボン膜は、台形の3つの短辺をなぞる折れ線になる。

三角形の場合と同様に、一つの辺を共有する正三角形を四角形の外側に描く。さらに、四角形の場合には、向かい合う対辺のそれぞれに正三角形を配置して考える。

図のように、2点E,Fを結ぶと、その線分上に2点B,Cが含まれるようになるので、これが最短の長さになる。また、∠ABC＝∠BCD＝120°の関係が見られる。

詳しく説明すると

台形の内部に適当な点G,Hを設けて、AG＋BG＋GH＋CH＋DHが最短になるような経路を考えたとする。GHを短くすれば、3辺をなぞる経路より短くなるのではと探ってみても、E→I→G→H→J→Fの経路は、E→B→C→Fの経路よりも長くなってしまうのだ。

したがって、この図形の頂点に配置された4点を結ぶ経路としては、AB＋BC＋CDの3辺の和が最小で、その長さは「3」となる。