シャボン膜の形と長さ（3）

①－(c) 正三角形の場合

シャボン膜は、正三角形の重心（内心、外心、垂心）と3頂点を結んだ三つ叉の形になる。

回転ドアの3枚ガラスのような、とてもバランスのとれた形である。
この形が今回の条件下での「最短」であることを示すため、辺ABで隣接する正三角形ABDと、正三角形AEFを考える。

AE＋BE＋CEを最小にするには、DF＋FE＋ECが最小になるように点Eを定める必要がある、すなわち、D,F,E,Cを一直線上に置けばよい。
したがって、点Eは、∠AEC＝∠BEA＝120°となる点になり、正三角形ABCの重心、内心、外心、垂心に一致する。
このときの膜の長さは、正六角形の一辺の長さを1とすると、「3」になる。

前回の「フェルマー点をみつけてみよう」のWeb教材で、△ABCを正三角形にして点Eを動かしてみた。重心あたりに点を近づけるとき、4点D,F,E,Cが一直線に並ぶことが分かる。