折り紙と三角形の心（3）

（3）オイラー線と九点円

どんな三角形についても、その外心O、重心G、垂心Hは一直線に並び、HG：GO＝2：1　となる。このことをどう説明すればよいか。

＜3点H,G,Oが同一線上にあり、HG：GO＝2：1が成り立つ証明＞

△ABCについて、辺BCの中点をM、垂心をH、外心をOとし、線分HOと線分AMの交点をD、外接円と直線COの交点をEとする。
△COM∽△CEB、CM：CB＝1：2より、EB ＝2OM･･･①
EA⊥AC と BH⊥AC より EA∥BH
EB⊥BC と AH⊥BC より EB∥AH
よって、四角形AEBHは平行四辺形となり、EB＝AH･･･②
①②より、AH＝2OM
△AHD∽△MOD および AH＝2OMから、HD＝2ODが成り立つ。
また、AD＝2MD になることから、点Dは△ABCの重心に一致する。
すなわち、垂心H、重心G、外心Oは一直線上に並び、HG：GO＝2：1 が成り立つ。

もう一つ、三角形の「心」についての面白い性質を紹介しよう。

それは、垂心の周りに存在する9つの点が同一円周上にある、という性質である。
9つの点とは、
・各辺の中点　3個
・各頂点から対辺に下ろした垂線の足　3個
・垂心と各頂点を結ぶ線分の中点　3個　　の計9個である。

また、九点円の中心をQとすると、外心O、重心G、垂心Hと、九点円の中心Qは、同一直線上にあり、OG：GQ：QH＝2：1：3であることがわかっている。

＜9点が同一円周上にあることの証明＞

△ABCについて、
辺BC、辺CA、辺ABの中点をそれぞれM1,M2,M3とする（赤点）。
頂点A,B,Cから対辺に下ろした垂線の足をそれぞれD1,D2,D3とする（青点）。Hは垂心。
線分AH、BH、CHの中点をそれぞれE1,E2,E3（黒点）とする。

4点M2,M3,E2,E3に注目すると、
△ABCにおいて中点連結定理より、M2M3∥BC　M2M3＝(1/2)BC
△HBCにおいて中点連結定理より、E2E3∥BC　E2E3＝(1/2)BC
△ABHにおいて中点連結定理より、M3E2∥AHで、また、AH⊥BC
なので、四辺形M2M3E2E3は長方形であることが分かる。
したがって、この4点は同一円周上にある。

また、四辺形D2E2E3M2の対角の和が180°であることから、D2もこの円上にあり、四辺形D3M3E2E3の対角の和が180°であることから、D3もこの円上にあるといえる。

同様にして、4点M1,M3,E1,E3に注目したとき、
四辺形M1M3E1E3が長方形であることから、4点が同一円周上にあること、
四辺形M1M3D3E3、および、四辺形M1D1E1E3の各頂点も同一円周上にあることがいえる。

さきほどの6点と、今回の6点のうち、M3,E3,D3が共通であることから、これら9点はすべて同一円周上に存在することが分かる。