サイコロゲーム（4）

（4）五面サイコロによる対戦ゲーム

4つの面をもつサイコロで行った実験（対戦ゲーム）を、5つの面をもつサイコロに拡張して考えてみよう。「5面サイコロ」は、五角柱の鉛筆で代用することにする。（別名、合格鉛筆。）

一般的な鉛筆の6面に印をつけてサイコロのように転がして遊んだ（分からないテスト問題で運をためした）経験があるかもしれないが、この五角柱の場合は、面に「目」をかいてはいけない。なぜか。

転がしたとき、面ではなく角が上を向くからだ。角に「目」をかくことで、止まったときのサイコロの「目」が判定できる。

四面サイコロの場合と同様に、五面サイコロに割り振る「目」のパターンについて考えよう。
5つの角に5つ数「1,2,3,4,5」を割り当てたものを基本形とし、次の条件①、②をもつ五面サイコロはいくつ見つけられるだろうか。
① 1から5の整数のみをつける
② 目の和が「15」になるようにする
たとえば、「5,5,3,1,1」はOKだが、「6,3,3,2,1」や「5,4,3,3,1」はNGである。

簡単なようにみえるが、なかなかやっかいな問題である。（計算でぱっと出ない）
結果は以下の通りで、全部で「12種類」が正解。

これら12種類の五面サイコロについて、1回振ったときに出る目の期待値はいくらか。
いずれも、目の和が「15」で、どの目が出るのも1/5の確率だから、期待値は「3」となる。

さて、授業では、24チームがすべて異なるサイコロを1本ずつもち、チーム対抗戦で、大きい目が出た方が勝ちとするゲーム（20回勝負）に取り組んだ。期待値が同じであることからも、どのサイコロも公平なつもりでゲームを始めるのだが、次第に次のような「気づき」が生まれてくる。

生徒たちは、組合せ（相手のサイコロ）によって有利不利がありそうだと感じつつも、それを説明できるまでには至らない「もやもや」時間をすごす。

ちなみに、この3つのサイコロでは、
「5,4,4,1,1」＞「3,3,3,3,3」
「3,3,3,3,3」＞「5,5,2,2,1」
「5,5,2,2,1」＞「5,4,4,1,1」　という力関係、すなわち「三すくみ」が見られる。

授業では、「5,3,3,3,1」と「4,4,3,3,1」が決勝戦で対決し、優勝は「4,4,3,3,1」であった。
サイコロを転がさないで、勝ち負け（有利不利）が予想できただろうかと尋ねると、対戦表（星取り表）が有効であろうという意見がでてきた。実際に表をかいてみると、

理論的にも、「4,4,3,3,1」の方が「5,3,3,3,1」より有利である（10勝8敗7分け）ことが確かめられた。
そして、生徒の出した結論としては、「すべてに勝てる最強のサイコロは存在しない」ということであった。

ところが、各チームがもつ五面サイコロと「1,2,3,4,5」のサイコロ（基本形）との対戦を調べてもらったところ、どのチームも「引き分け」になるという驚きの現象が明らかになる。そして、なぜこのようなことが起こるのかという考察が、この授業のしめくくりとなる。

12種類のサイコロが対戦したときの有利（○）不利（×）互角（△）を表にすると次のようになる。

「1,2,3,4,5」のさいころが引き分ける理由は、四面サイコロの場合と同じであるが、やはり、ことばで説明するのはなかなか難しい。

四面サイコロの「解説その1」は、対戦表をつかって具体的に説明していたので、五面サイコロのケースに当てはめて説明する場合は、いくつかの対戦表をもとに一から説明し直さないといけない。
しかし、「解説その2」と「解説その3」は、数式を使って一般的に説明していたので、ちょっと拡張すればそのまま使えてしまう。数学の一般性、汎用性というものが優れていること、役に立つことに気づいてくれると嬉しい。

＜おまけ＞
五面サイコロの12種類を見つける方法として、下のように青いブロックの絵を描いて（実際に駒をつくるともっとよい）、バランスよく平均が「3」になるパターンを探すやり方もある。