正四面体がいっぱい（4）

（4）自己相似で拡大する立体

「四面体がいっぱい（2）」では、正四面体と正八面体を積み重ねて、拡大正四面体をつくった。

同じ、この2種類のパーツを積み重ねて、拡大正八面体をつくることもできる。

このように、隙間なく積み重ねてもとの形と相似であるような立体ができるとき、それは空間を埋め尽くすことができる。

「正四面体がいっぱい（1）」では、立方体から三角錐を切り取る作業をした。そのときの切り取った三角錐と残された正四面体にも、同じような特徴（自己相似で拡大する）がみられる。

切り取った三角錐は4つで、正四面体と比べて高さが半分、ということであった。

この4つの三角錐を、直角三角形の面が互いにくっつくように並べると、それは辺の長さがすべて同じ四角錐になる。すなわち、正八面体を半分に切った立体になる。

このくっついた4つの三角錐を2つに分けたもの（菱形のシーソーみたいな形）を正四面体にくっつけてみる。

すると、左の写真のようになる。このシーソーみたいな形をもう一つつくって、正四面体のもう一つの面にくっつけると、右の写真のような拡大三角錐ができあがるのだ。
拡大三角錐の辺の長さも高さも、もとの三角錐の2倍になることがわかるだろう。
これもまた、自己相似的に拡大させていくことが可能だ。

つまり、下の写真のような2種類のパーツで、空間を埋めることが可能ということだ。
なんとなく「ペンローズ・タイル」を連想してしまう。

正四面体と正八面体で空間が充填できるということと、その比率が、正四面体：正八面体＝2：1であったことから、2つの正四面体と1つの正八面体からなるユニット（単位）を考えてみた。
正八面体に2つの正四面体をくっつける方法は、3通りある。

①正八面体の隣り合う2面にくっつける
②台形の平面ができるようにくっつける
③正八面体の向かい合う平行な2面にくっつける

②と③については、このユニットを8個うまく組み合わせることで、自己相似形をつくることができた。

が、①については、あと一歩のところで完成できなかった。

この3つのユニットのいずれも、平面的に1段だけで隙間なく組み立てていくことはできそうなので、①②③ともに、空間充填が可能と思われる。（ユニット①については、充填パターンが不規則になりそう。）

最後に、自己相似形の代表的なものとして、シェルピンスキーのギャスケットを紹介しよう。
平面の場合は、正三角形から辺の中点を結ぶ逆正三角形を切り取り、残った3つの正三角形からさらに逆正三角形を切り取り、･･･とすると、下のような自己相似形模様（相似的な繰り返し文様）が現れる。

この作業を正四面体の立体で行うと、もとの正四面体からびったり収まる正八面体を取り除き、残った4つの正四面体からまた正八面体を取り除き、･･･と繰り返すことによって、中身がスカスカな自己相似形の立体ができあがる。

取り除き作業を繰り返していくと、もとの大きな正四面体に対して、体積はどんどんと0に近づくのに、表面積（小さな正四面体の表面積の和）はもとの正四面体の表面積と変わらない。見る方向によって、隙間のない正方形に見えるなど、面白い性質をもっている。

ずいぶん前に、生徒たちと大きなシェルピンスキーギャスケットをつくったことがある。厚紙を折ってつくった1024個の小さな正四面体を積み上げていく作業はたいへんだったが、それに見合うだけの感動が得られた。

（忙しくなってきたので、投稿はしばらくお休みにします。）