折り紙で色々な長さ（3）

（4）長方形を正方形に変形する

平方根を作図する方法が見つかれば、裁ち合わせによって長方形を正方形に変形することが可能になるのではないか。辺の長さが1と a である長方形の用紙から正方形をつくる方法を考えてみた。

［方法1］

短辺が1、長辺が a の長方形を正方形に変形するためには、√a の長さをもつ折り線を見つけなければならない。
BE＝1となる辺BCに垂直な折り線FEを引き、BCの中点Mで点B’ をこの直線FE上に重なるように折り返す。
△B’MEについて、B'M＝a/2、ME＝1ーa/2 より、
B'E^2＝(a/2)^2ー(1ーa/2)^2＝aー1
△B’BEについて、B'E＝√(a-1)、BE＝1 より、
BB'^2=(√(a-1))^2＋1^2＝a　∴ BB'＝√a

折り線CB’ と辺ADの交点をGとするとき、△B’BE≡△GCD より、GC＝√a となる。したがって、図のように、長方形を3つの紙片に切ってつなぎ合わせると正方形が完成する。

［方法2］

短辺が1、長辺が a の長方形を正方形に変形することを考える。
BE＝1、GE＝ECとなる点E、Gをとり、辺BCに垂直な折り線FEとHGを引く。
点C’ が折り線HG上に重なるように、辺BC’ を折り返したあと、折り線CC’と折り線BIの交点をJとすると、
△BCJ∽△BJEより、a：BJ＝BJ：1 　BJ^2＝a　∴ BJ＝√a  
また、折り線CC’と辺ADの交点をKとするとき、△JBE∽△KCDより、CK＝√a となる。

したがって、図のように、長方形を3つの紙片に切ってつなぎ合わせると正方形が完成する。