正四面体がいっぱい（3）

（3）自然の中の正四面体

昨日の問題の答えは、次のようになる。

正方形の面をくっつけることで、正四面体ができあがる。
正四面体の切断面には、正三角形だけでなく、正方形になる場合があるのだ。

こんなものをつくってみた。アクリル板で正四面体をつくり、その中に細かな砂を入れる。正四面体の向きを変えることで砂の面も変わり、「切断面が見える」というものだ。
（中に入っている砂は、サウジアラビアの砂漠の砂。1970年の万博でもらってきたもの。）

さて、正四面体構造をもっているいろいろな物質をみてみよう。
たとえば、ダイヤモンド。

正四面体状に、炭素Cが頑丈に結合している。

たとえば、水（氷）。

水分子は、単体ではH2Oで表されるが、水分子同士が互いを引きつけあい、隣り合う4つの分子が正四面体構造を形成していく。

たとえば、土の成分、二酸化ケイ素 SiO2。

正八面体の外側に4つの正四面体をしたがえているようなスタイルで積み上がる。
2種類の元素が正四面体構造を形成するとき、たとえば、水（H2O）も、二酸化ケイ素（SiO2）も、その割合は、1：2になっている。
これは、正八面体と正四面体を組み合わせて空間を充填したときの割合が「1：2」に近づいていった作業および計算結果に一致する。

このように自然界によく見られる正四面体構造であるが、中央からバランスよく外側に伸びる4本の手の、どの2本の角度も「109.5°」になることが知られている。これを数学的に確かめてみよう。

中央の原子を始点とし、正四面体の頂点方向に、aベクトル（→a）、bベクトル（→b）、cベクトル（→c）、dベクトル（→d）が引っ張り合い、バランスがとれているとする。それぞれのベクトルの大きさはすべて「1」、手のなす角をθとする。

(→a)･(→b)＝(→b)･(→c)＝(→c)･(→a)＝1×1×cosθ＝cosθ　･･･①
(→a)＋(→b)＋(→c)＝ー(→d)　･･･②　が成り立つ。
|(→d)|＝|(→a)＋(→b)＋(→c)|
＝√((|a|^2)＋(|b|^2)＋(|c|^2)＋2(→a)･(→b)＋2(→b)･(→c)＋2(→c)･(→a))
＝√(1＋1＋1＋2cosθ＋2cosθ+2cosθ)＝√(3＋6cosθ)
|(→d)|＝1　であるから、
3＋6cosθ＝1　すなわち　cosθ＝ー1/3　が導ける。
このとき、θ≒109.5°　

この「109.5°」は正八面体の二面角の値であった。すなわち、正八面体の隣に4つの正四面体を有するような正四面体構造において、この「109.5°」はたいへん重要な値であり、必然であったということだ。

また、すでに、「ビー玉を収める」や「ビー玉を積む」で検証したように、最密に積み上げたビー玉は、正六角形や正六角柱を形成する。この正四面体構造もまた、この構造と同等のものといえる。
雪の結晶や鉱物の結晶が正六角形を描くのは、このような理由によるのだ。