折り紙で辺のｎ等分（3）

（3）辺の n 等分の作図

折り紙による作図の基本操作をうまく使うことによって、辺の三等分だけでなく、一般的な n 等分点（有理数分点）を求めることができる。
　
［方法１］　相似形を用いる方法

正方形の1辺を1とする。
図のように、辺AD上に適当な点Eをとり、折り線BDとECの交点をFとし、点Fを通り辺ABに垂直な折り線と辺CDの交点をPとする。
① 点EがADの中点である（ED=1/2）とき、ED：BC＝1：2より、DP=1/3
② ED=1/3のとき、ED：BC＝1：3より、DP=1/4
③ ED=2/3のとき、ED：BC＝2：3より、DP=2/5

これらを一般的に考えてみると、

ED＝x、DP＝y とするとき、（0<x<1、0<y<1）
x：1＝y：(1ーy) 　　y＝x(1ーy)　 　(x＋1)y＝x　　∴ y＝x/(x＋1)
すなわち、x の長さを 1/n とすると、y の長さは  1/(n＋1) と表せるので、この操作を繰り返すことで、任意の数 n（紙を折ることが可能な範囲で）について、n 等分点を見出すことができる。

［方法２］　芳賀の定理を用いる方法

[1] 芳賀の第1定理の応用

図のように、辺AD上に適当な点Eをとり、点Cをこれに重ねて折り返す。このとき、点F、Gを図のように定め、
ED＝x、AE＝1ーx、AF＝y、DG＝z、GC＝1ーz とすると、
x：z＝y：(1ーx)　　yz＝x(1ーx) 　･･･(1)
x^2＋z^2＝(1ーz)^2 　･･･(2) 
これを解くと、y＝2x/(1＋x) 
これによって、x＝1/2、1/3、1/4、･･･のとき、y=2/3、2/4、2/5、･･･のように、次々と有理数分点を見つけることができる。
たとえば、x＝1/2 のときは、y＝2/3 となって、「芳賀の第1定理」がいえる。

また、x＝1/3 のとき、y＝1/2 となるが、これは「芳賀の第3定理」と同じ内容を表している。

[2] 芳賀の2定理の応用

図のように、辺AD上に適当な点Eをとり、BEを折り線として点Aを折り返し、この移った点A’に点Cが重なるように折り線BFを定める。
AE＝x、ED＝1ーx、FC＝y、DF＝1ーy とすると、
(1ーx)^2+(1ーy)^2＝(x+y)^2 より、2ー2xー2y＝2xy
xy＋y＝1ーx 　　∴ y＝(1ーx)/(1＋x)
これによって、x＝1/2、1/3、1/4、･･･のとき、y＝1/3、2/4、3/5、･･･のように、次々と有理数分点を見つけることができる。

[3] 芳賀の第3定理の応用

図のように、辺AD上に適当な点Eをとり、辺A’B’ を点E上に重ね、点B’ を辺CD上に重ねるように折り返す。このとき、点F、Gを図のように定め、ED＝x、FC＝y、DF＝1ーy、GC＝z、BG＝1ーz とすると、
y^2＋z^2＝(1ーz)^2 より、y^2＝1ー2z  ･･･(1)
x：(1ーy)＝y：z より、 z＝(y(1ーy))/x 　･･･(2) 
これを解いて、 y＝x/(2ーx)
これによって、x＝1/2、1/3、1/4、･･･のとき、y＝1/3、1/5、1/7、･･･のように、次々と有理数分点を見つけることができる。